13 - Testy różnic

Idea estymatora różnic między parametrami¶

Różnicę między dwiema średnimi estymujemy jako różnicę ich estymatorów. Dla dwóch niezależnych prób estymatorem jest:

a dla danych parami najpierw liczymy różnice w parach $D_i = X_{1i} - X_{2i}$, a następnie średnią tych różnic $\overline{D}$.

Liniowość i nieobciążoność¶

Dzięki liniowości wartości oczekiwanej mamy:

Oznacza to, że estymator jest nieobciążony — jego wartość oczekiwana równa jest prawdziwej różnicy średnich.

To podstawowy powód, dla którego różnicę średnich traktujemy bezpośrednio jako estymator interesującej wielkości.

Suma wariancji — intuicja¶

Dla dwóch niezależnych zmiennych losowych A i B mamy:

Jeśli A i B są niezależne, $Cov(A,B)=0$, więc wariancja różnicy to po prostu suma wariancji. Dla średnich z prób:

stąd

Analogicznie dla proporcji:

a różnica dwóch niezależnych proporcji ma wariancję będącą sumą tych składników.

Parowane obserwacje i praktyczne uwagi¶

Gdy obserwacje są sparowane (te same jednostki w dwóch warunkach), kowariancja między pomiarami nie jest zerowa.

Dla różnicy w parach

Dodatnia kowariancja zmniejsza wariancję różnic, dlatego test parowany bywa bardziej czuły niż test dla dwóch niezależnych grup.

W praktyce zamiast nieznanych $σ^2$ podstawiamy estymatory z próby ($s^2$). Jeśli zakładamy równość wariancji używamy wariancji zgrupowanej (pooled), a jeśli nie — wersji Welcha (oddzielne wariancje).

Zastosowanie centralnego twierdzenia granicznego (CLT) uzasadnia przybliżenie rozkładem normalnym dla średnich i proporcji, co pozwala konstruować przedziały ufności i testy.

Testy różnic między średnimi¶

Celem testu jest sprawdzenie hipotezy o różnicy średnich (np. $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$). W zależności od układu danych rozważamy:

• próbki niezależne (dwie grupy różnych jednostek),

• próbki parowane (te same jednostki mierzono w dwóch warunkach).

Założenia, które trzeba sprawdzić¶

• Niezależność obserwacji: próbki (lub różnice w parach) powinny być niezależne między sobą.

• Normalność rozkładu: dla małych prób sprawdźmy normalność rozkładu w każdej grupie (albo normalność różnic dla danych parowanych).

• Homogeniczność wariancji (dla testu z pooled variance): wariancje obu grup są równe. Jeśli nie, używamy testu Welcha lub procedur nieparametrycznych.

Uwagi praktyczne: dla większych n centralne twierdzenie graniczne (CLT) łagodzi wymóg ścisłej normalności; nadal warto wykonać testy i wizualizacje.

Statystyka testowa — próbki niezależne (pooled t)¶

Jeśli zakładamy równość wariancji w obu populacjach, stosujemy wariancję zgrupowaną (pooled variance):

Statystyka testowa ma wówczas postać:

Uzasadnienie:
W liczniku znajduje się różnica nieobciążonych estymatorów średnich, natomiast w mianowniku — wspólny estymator odchylenia standardowego błędu tej różnicy, obliczony przy założeniu równości wariancji w obu populacjach.

📊 Zastosowanie w Pythonie¶

import numpy as np
from scipy import stats

# przykładowe dane z dwóch niezależnych grup
group1 = np.array([12, 14, 15, 13, 16, 15, 14])
group2 = np.array([10, 11, 13, 9, 12, 11, 10])

# test t-Studenta dla prób niezależnych (pooled, equal variances)
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2, equal_var=True)

print(f"t = {t_stat:.3f}, p = {p_value:.4f}")

# interpretacja
alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("Odrzucamy H0 — istotna różnica między grupami (p < 0.05).")
else:
    print("Brak podstaw do odrzucenia H0 — brak istotnej różnicy.")

Statystyka testowa — próbki niezależne (Welch)¶

Gdy nie zakładamy równości wariancji, stosujemy statystykę Welcha:

Stopnie swobody przybliżamy wzorem Satterthwaite’a:

Statystyka ta nie wymaga równości wariancji i jest bardziej odporna w sytuacjach, gdy wariancje populacji są różne.

📊 Zastosowanie w Pythonie¶

import numpy as np
from scipy import stats

# przykładowe dane z dwóch niezależnych grup
group1 = np.array([21, 23, 19, 25, 30, 18, 22])
group2 = np.array([26, 28, 35, 33, 29, 31, 34])

# test t-Studenta z założeniem nierówności wariancji (Welch)
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(group1, group2, equal_var=False)

print(f"t = {t_stat:.3f}, p = {p_value:.4f}")

# interpretacja
alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("Odrzucamy H0 — istotna różnica między grupami (p < 0.05).")
else:
    print("Brak podstaw do odrzucenia H0 — brak istotnej różnicy.")

Statystyka testowa — dane parowane (paired t)¶

Dla parowanych obserwacji analizujemy różnice:

Test sprowadza się do jednowymiarowego testu t dla średniej różnic:

Statystyka testowa ma postać:

Interpretacja:
Parowanie eliminuje stałe źródła zmienności między jednostkami (np. indywidualne różnice) i często zwiększa moc testu, gdyż porównanie odbywa się w ramach tych samych obiektów.

📊 Zastosowanie w Pythonie¶

import numpy as np
from scipy import stats

# przykładowe dane: pomiar przed i po interwencji
before = np.array([56, 67, 49, 61, 72, 58, 63, 59])
after  = np.array([60, 70, 52, 63, 75, 61, 65, 62])

# test t dla prób zależnych (parowanych)
t_stat, p_value = stats.ttest_rel(before, after)

print(f"t = {t_stat:.3f}, p = {p_value:.4f}")

# interpretacja
alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("Odrzucamy H0 — istotna różnica między pomiarami (p < 0.05).")
else:
    print("Brak podstaw do odrzucenia H0 — brak istotnej różnicy.")

Jak sprawdzić założenia i alternatywy¶

• Normalność: testy typu Shapiro-Wilka, wykres Q-Q; dla większych n polegamy na CLT.

• Homogeniczność wariancji: Levene (bardziej odporny) albo Bartlett (bardziej czuły przy normalności), ew. klasyczny test F (uwaga na wrażliwość na normalność).

• Niezależność: sprawdź projekt badania; parowanie zamiast niezależności, jeśli jednostki powiązane.

• Alternatywy: jeśli założenia nie są spełnione rozważ testy nieparametryczne (Mann-Whitney/Wilcoxon dla niezależnych, Wilcoxon signed-rank dla par), testy permutacyjne lub bootstrap dla przedziałów ufności.

• Praktyczne wskazówki: pokaż rozkłady (histogramy, boxploty), policz odchylenia i liczebności; wybierz wersję testu zgodnie z wynikami testów założeń.

Test nieparametryczny — Wilcoxona (dla danych parowanych)¶

Gdy dane nie spełniają założeń testu t dla prób parowanych (np. brak normalności różnic), stosujemy test rang Wilcoxona.

Porównuje on medianę różnic pomiędzy parami obserwacji, wykorzystując rangi bezwzględnych różnic zamiast surowych wartości.

Hipotezy:

Statystyka testowa:
Opiera się na sumie rang dodatnich ( W^+ ) lub ujemnych ( W^- ).
Dla dużych prób można stosować aproksymację rozkładem normalnym.

Zastosowanie w Pythonie:

from scipy.stats import wilcoxon

stat, p = wilcoxon(before, after)
print(stat, p)

Test nieparametryczny Manna–Whitneya (dla prób niezależnych)¶

Gdy dane nie spełniają założeń testu t dla prób niezależnych (np. brak normalności, różne wariancje), stosujemy test Manna–Whitneya U (znany też jako test Wilcoxona–Rank–Sum).

Porównuje on rozkłady dwóch niezależnych grup, badając, czy wartości z jednej grupy mają tendencję do bycia większymi niż z drugiej.

Hipotezy:

Statystyka testowa:
Opiera się na sumach rang wszystkich obserwacji z obu prób.

Zastosowanie w Pythonie:

from scipy.stats import mannwhitneyu

stat, p = mannwhitneyu(group1, group2, alternative='two-sided')
print(stat, p)

Statystyka testowa — różnice między proporcjami¶

Test ten służy do porównania dwóch proporcji (np. odsetka sukcesów, zadowolenia, pozytywnych opinii) w niezależnych grupach.

📘 Wzory¶

Niech:

• $p_1 = \frac{x_1}{n_1}$ — proporcja sukcesów w grupie 1

• $p_2 = \frac{x_2}{n_2}$ — proporcja sukcesów w grupie 2

Pod hipotezą zerową $H_0: p_1 = p_2$ zakładamy, że obie proporcje są takie same.

Wtedy łączna proporcja (pooled proportion) wynosi:

Statystyka testowa:

Dla dużych prób $z \sim N(0,1)$.

🧾 Hipotezy¶

$H_0: p_1 = p_2$ — brak różnicy między proporcjami
$H_1: p_1 \neq p_2$ — różnica (test dwustronny)
lub alternatywnie:
$H_1: p_1 > p_2$ — proporcja w grupie 1 jest większa (test jednostronny)
$H_1: p_1 < p_2$ — proporcja w grupie 1 jest mniejsza (test jednostronny)

📊 Zastosowanie w Pythonie¶

import numpy as np
from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest
import matplotlib.pyplot as plt

# dane: liczba sukcesów i liczebności
successes = np.array([84, 70])
nobs = np.array([120, 150])

# --- test dwustronny ---
z_stat, p_value = proportions_ztest(successes, nobs, alternative='two-sided')

print(f"Test dwustronny: z = {z_stat:.3f}, p = {p_value:.4f}")

# --- test jednostronny (p1 > p2) ---
z_stat_one, p_value_one = proportions_ztest(successes, nobs, alternative='larger')

print(f"Test jednostronny (p1 > p2): z = {z_stat_one:.3f}, p = {p_value_one:.4f}")

# interpretacja
alpha = 0.05
if p_value_one < alpha:
    print("Odrzucamy H0 — proporcja w grupie 1 jest istotnie większa (p < 0.05).")
else:
    print("Brak podstaw do odrzucenia H0 — brak dowodu na wyższą proporcję w grupie 1.")

Zadania¶

Zadanie 1.¶

Jesteś analitykiem rynku i chcesz przeanalizować poziom satysfakcji klientów dwóch różnych wypożyczalni samochodów. Na podstawie przeprowadzonej ankiety (zaledwie 20 obserwacji) sprawdź: czy poziomy satysfakcji klientów firm Panek i Traficar różnią się istotnie statystycznie? Oblicz i zinterpretuj również wielkość efektu (effect size).

Najpierw przyjrzyjmy się wykresom.

Narysujmy histogram z nałożonym wykresem gęstości w tle:

Testy normalności obu rozkładów:

A teraz wykonujemy sam test 😉 — oczywiście jeśli spełnione są założenia: w przybliżeniu normalność rozkładów i równość wariancji.

Na koniec — dzięki przeprowadzonym dwóm testom założeń (normalności i równości wariancji) — wiemy, jaki test należy zastosować: będzie to test t dla prób niezależnych z wariancją zgrupowaną (pooled t-test).

Wielkość efektu (Effect Size) — współczynnik Cohena d¶

Wielkość efektu to ilościowa miara siły efektu eksperymentalnego.
W kontekście porównywania dwóch grup, najczęściej stosowaną miarą jest Cohen’s d.
Pomaga ona zrozumieć praktyczne znaczenie różnicy między grupami — nie tylko jej istotność statystyczną.

📘 Wzór na Cohen’s d¶

gdzie:

• $M_1, M_2$ — średnie w obu grupach,

• $s_1, s_2$ — odchylenia standardowe w obu grupach.

📊 Interpretacja wartości Cohen’s d¶

Wielkość różnicy:¶

Poziomy satysfakcji między firmami Panek i Trafficar różnią się o 0,56 odchylenia standardowego, co wskazuje na umiarkowaną różnicę.

Znaczenie praktyczne:¶

Umiarkowana wielkość efektu sugeruje, że różnica w poziomach satysfakcji jest dość istotna praktycznie i prawdopodobnie zauważalna dla klientów.

Wpływ na decyzje biznesowe:¶

Firma o wyższym poziomie satysfakcji może wykorzystać te wyniki w komunikacji marketingowej, podkreślając jakość swoich usług.
Natomiast druga firma powinna przeanalizować możliwe obszary poprawy w celu zwiększenia zadowolenia klientów.

Moc testu (Power of the test)¶

Moc testu (statistical power) to prawdopodobieństwo, że test prawidłowo wykryje rzeczywistą różnicę między grupami — czyli odrzuci hipotezę zerową, gdy w populacji faktycznie istnieje efekt.
Wysoka moc (zwykle ≥ 0.8) oznacza, że test ma duże szanse na wykrycie istotnej różnicy, jeśli taka naprawdę występuje.

📘 Obliczanie mocy testu t w Pythonie¶

from statsmodels.stats.power import TTestIndPower

# Parametry testu
effect_size = abs(cohen_d)   # wielkość efektu z poprzednich obliczeń
alpha = 0.05                 # poziom istotności
nobs1 = len(panek)           # liczebność pierwszej grupy
ratio = len(trafficar) / len(panek)  # stosunek liczebności prób

# Obiekt do analizy mocy testu
analysis = TTestIndPower()

# Obliczenie mocy testu
power = analysis.power(effect_size=effect_size, nobs1=nobs1, alpha=alpha, ratio=ratio)
print(f"Moc testu: {power:.3f}")

PODSUMOWANIE¶

W tym przykładzie wartość p jest większa niż 0.05, co oznacza, że różnica poziomu satysfakcji między firmami Panek i Trafficar nie jest statystycznie istotna.
Jednak współczynnik wielkości efektu (Cohen’s d) wynosi 0.55, co odpowiada efektowi umiarkowanemu.
Moc testu wynosi 0.45, co oznacza, że istnieje jedynie 45% szans na prawidłowe odrzucenie hipotezy zerowej, jeśli w rzeczywistości różnica faktycznie istnieje.

📘 Moc testu (Power)¶

Moc testu to prawdopodobieństwo prawidłowego odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa.
Zazwyczaj przyjmuje się, że moc ≥ 0.80 jest wystarczająca w większości dziedzin badań.

⚠️ Niska moc testu (Low Power)¶

Jeśli moc testu jest mniejsza niż 0.80, oznacza to, że test może być zbyt mało czuły, by wykryć rzeczywisty efekt.
W takiej sytuacji rośnie ryzyko błędu II rodzaju (Type II error), czyli nieodrzucenia fałszywej hipotezy zerowej.

🧩 Podsumowanie działania kodu¶

Ten kod:

1. Wczytuje dane o poziomach satysfakcji klientów,

2. Wykonuje test t-Studenta dla dwóch niezależnych prób,

3. Oblicza wielkość efektu (Cohen’s d),

4. Interpretuje wyniki testu,

5. Ocenia moc testu i wskazuje, czy próbka jest wystarczająco duża, by wykryć istotne różnice.

💡 Wniosek praktyczny:
Choć różnica nie jest istotna statystycznie, umiarkowany efekt sugeruje, że w większej próbie mógłby zostać wykryty.
Warto rozważyć zwiększenie liczebności próby lub pogłębioną analizę przyczyn różnic w satysfakcji klientów.

Zadanie 2.¶

Test t dla dwóch prób niezależnych — przykład z danych mtcars¶

🔍 Problem badawczy:¶

Na podstawie zbioru danych mtcars oceń, czy samochody z automatyczną skrzynią biegów mają istotnie wyższe zużycie paliwa (czyli niższy $mpg$) niż samochody z manualną skrzynią biegów.

📘 Hipotezy:¶

• $H_0: \mu_{\text{auto}} = \mu_{\text{manual}}$
  (średnie zużycie paliwa jest takie samo w obu grupach)

• $H_1: \mu_{\text{auto}} > \mu_{\text{manual}}$
  (samochody z automatem zużywają więcej paliwa, czyli mają niższy mpg)

Zadanie 3.¶

🔍 Opis problemu:¶

Przeprowadzono badanie, którego celem było sprawdzenie skuteczności nowego leku nasennego.
W badaniu wzięło udział 10 studentów, z których każdy przeszedł dwa etapy:

1. Placebo

2. Lek nasenny

Zmienna extra oznacza dodatkowy czas snu (w godzinach) uzyskany po przyjęciu środka w porównaniu z okresem bez leczenia.
Naszym celem jest sprawdzenie, czy czas snu po zażyciu leku jest istotnie dłuższy niż po placebo.

Opis danych: https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/datasets/html/sleep.html

📘 Hipotezy:¶

• $H_0: \mu_{\text{drug}} = \mu_{\text{placebo}}$
  (lek nie wpływa na czas snu)

• $H_1: \mu_{\text{drug}} > \mu_{\text{placebo}}$
  (lek powoduje wydłużenie snu)

Wczytujemy dane i zamieniam je na szeroki format z oddzielnymi kolumnami dla placebo i lek wymaganej przez funkcję testu dla prób zależnych:

Zadanie 4.¶

🔍 Problem badawczy:¶

Na podstawie danych germancredit chcemy sprawdzić,
czy odsetek osób z negatywną oceną kredytową (bad credit)
jest istotnie wyższy wśród pracowników zagranicznych niż wśród pracowników krajowych.

📘 Hipotezy:¶

• $H_0: p_{\text{foreign}} = p_{\text{domestic}}$
  (odsetek osób z negatywną oceną kredytową jest taki sam w obu grupach)

• $H_1: p_{\text{foreign}} > p_{\text{domestic}}$
  (odsetek osób z negatywną oceną kredytową jest wyższy wśród cudzoziemców)

Związek między testem z dla dwóch proporcji a testem chi-kwadrat¶

📘 Idea:¶

Dla tabeli 2×2, test dwóch proporcji i test chi-kwadrat niezależności badają to samo zjawisko —
czy istnieje istotna różnica między proporcjami w dwóch grupach.

Matematycznie:

czyli kwadrat statystyki z z testu proporcji jest równy statystyce chi-kwadrat z testu niezależności (przy 1 stopniu swobody).

🧮 Wzory¶

Niech:

• $p_1 = \frac{x_1}{n_1}$ – proporcja sukcesów w grupie 1

• $p_2 = \frac{x_2}{n_2}$ – proporcja sukcesów w grupie 2

• $\hat{p} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$ – proporcja łączna (pooled)

Statystyka testu z ma postać:

Jeśli podniesiemy ją do kwadratu:

Otrzymujemy dokładnie wartość statystyki z testu $\chi^2$ dla tabeli 2×2.

Uwaga dotycząca poprawki ciągłości (continuity correction)¶

W przeciwieństwie do niektórych programów statystycznych, pakiet ggstatsplot nie oferuje możliwości zastosowania poprawki Yatesa dla statystyki chi-kwadrat Pearsona.

Powodem jest duża liczba badań opartych na symulacjach Monte Carlo, które wykazują, że poprawka Yatesa jest zbyt konserwatywna, nawet przy małych liczebnościach prób.
W efekcie prowadzi do zbyt częstego nieodrzucania hipotezy zerowej, co zmniejsza moc testu.

Z tego względu nie zaleca się stosowania poprawki Yatesa w praktyce
(Camilli & Hopkins, 1978, 1979; Feinberg, 1980; Larntz, 1978; Thompson, 1988).

Wnioski z testu chi-kwadrat¶

Test chi-kwadrat dla różnic proporcji (bez zastosowania poprawki ciągłości) wykazał, że obserwowane różnice są istotne statystycznie ($p = 0.01583$).

Wnioskujemy zatem, że poziom ryzyka kredytowego istotnie różni się między pracownikami krajowymi a cudzoziemcami.
Oznacza to, że status cudzoziemca jest zmienną, która istotnie determinuje poziom ryzyka kredytowego —
warto więc uwzględnić ją w modelu scoringowym jako czynnik predykcyjny.

Test dla proporcji w parach (paired proportions test)¶

🔍 Opis problemu:¶

Badamy reakcję klientów na kampanię reklamową pewnej firmy.
Przeprowadzono ankietę wśród 195 osób, z których 103 wyraziły zainteresowanie zakupem produktów firmy.

Po 6 miesiącach trwania kampanii reklamowej ponownie przeprowadzono ankietę.
Tym razem tylko 47 osób zadeklarowało zainteresowanie, z czego 39 to osoby, które wcześniej były zainteresowane zakupem.

Chcemy sprawdzić, czy kampania reklamowa istotnie wpłynęła na spadek liczby osób zainteresowanych produktami firmy.

📘 Hipotezy:¶

• $H_0$: odsetek osób zainteresowanych zakupem nie uległ zmianie po kampanii

• $H_1$: odsetek osób zainteresowanych zakupem zmniejszył się po kampanii

📘 Test McNemara — teoria¶

🔍 Cel testu¶

Test McNemara służy do analizy danych sparowanych w przypadku, gdy interesują nas zmiany odpowiedzi dychotomicznych (np. „tak/nie”, „sukces/porażka”) w dwóch pomiarach lub warunkach.

Najczęściej stosuje się go, gdy:

• te same osoby są badane przed i po pewnej interwencji (np. kampanii reklamowej, leczeniu),

• chcemy sprawdzić, czy proporcja odpowiedzi „tak” zmieniła się w czasie.

📊 Struktura danych w teście McNemara¶

Legenda:

• a – liczba osób, które odpowiedziały „tak” w obu pomiarach,

• b – liczba osób, które zmieniły odpowiedź z „tak” na „nie”,

• c – liczba osób, które zmieniły odpowiedź z „nie” na „tak”,

• d – liczba osób, które odpowiedziały „nie” w obu pomiarach.

🧮 Wzór na statystykę testową¶

Statystyka testu McNemara ma postać:

gdzie:

• $b$ i $c$ to liczby obserwacji, które zmieniły odpowiedź między pomiarami,

• statystyka $\chi^2$ ma rozkład chi-kwadrat z 1 stopniem swobody.

⚙️ Założenia testu¶

1. Dane są sparowane (pochodzą od tych samych osób w dwóch pomiarach).

2. Zmienna jest dychotomiczna (np. tak/nie, poprawa/brak poprawy).

3. Wartości $b + c$ powinny być wystarczająco duże (co najmniej 25) –
   w przeciwnym razie stosuje się wersję dokładną (exact) lub z poprawką ciągłości.

📊 Hipotezy statystyczne¶

• $H_0$: brak różnicy między proporcjami — kampania/interwencja nie miała wpływu
  (czyli $p_{\text{przed}} = p_{\text{po}}$)

• $H_1$: występuje różnica między proporcjami — interwencja miała wpływ
  (czyli $p_{\text{przed}} \neq p_{\text{po}}$ lub kierunkowo: $p_{\text{przed}} > p_{\text{po}}$)

💡 Interpretacja wyniku¶

• Jeśli $p < 0.05$ → odrzucamy $H_0$
  → istnieje istotna różnica w proporcjach odpowiedzi między pomiarami.

• Jeśli $p \geq 0.05$ → brak podstaw do odrzucenia $H_0$
  → nie ma istotnej zmiany w odpowiedziach między pomiarami.

📈 Przykład interpretacji¶

W badaniu skuteczności kampanii reklamowej:

• $b$ – liczba osób, które utraciły zainteresowanie po kampanii,

• $c$ – liczba osób, które zyskały zainteresowanie,

• jeśli $b > c$, to zainteresowanie spadło,

• jeśli $c > b$, to zainteresowanie wzrosło.

Test McNemara pozwala ocenić, czy ta zmiana jest statystycznie istotna.

🧾 Wniosek¶

Odrzucamy hipotezę zerową: kampania reklamowa miała istotny wpływ na spadek liczby osób zainteresowanych produktami firmy.
Oznacza to, że proporcja osób wykazujących zainteresowanie po kampanii istotnie się zmniejszyła w porównaniu z okresem przed kampanią.

Zadanie 5.¶

🔍 Opis problemu:¶

W tym zadaniu wykorzystamy dane Arthritis z pakietu vcd.
Zbiór ten pochodzi z podwójnie ślepego badania klinicznego, w którym oceniano skuteczność nowych terapii reumatoidalnego zapalenia stawów (RZS).

Dane zawierają m.in.:

• rodzaj zastosowanego leczenia,

• płeć pacjenta,

• poziom poprawy po leczeniu (brak / nieznaczna / znaczna),

• wiek pacjenta.

Celem analizy jest ocena, czy typ leczenia ma istotny wpływ na poziom poprawy zdrowia pacjentów.

Dane pochodzą z podwójnie ślepego badania klinicznego nad skutecznością nowej terapii reumatoidalnego zapalenia stawów (RZS).

Zmiennie:

• Treatment — rodzaj leczenia: Placebo lub Treated

• Sex — płeć pacjenta: Male lub Female

• Improved — poziom poprawy: None, Some, Marked

Wszystkie te zmienne mają charakter kategoryczny.

Celem analizy jest weryfikacja hipotezy, że nowe leczenie istotnie poprawiło stan zdrowia pacjentów w porównaniu z placebo.

📘 Hipotezy statystyczne¶

• $H_0$: rodzaj leczenia nie wpływa na poziom poprawy ($p_{\text{Placebo}} = p_{\text{Treated}}$)

• $H_1$: rodzaj leczenia wpływa na poziom poprawy ($p_{\text{Placebo}} \neq p_{\text{Treated}}$)

⚙️ Dobór testu w zależności od struktury danych¶

• Jeśli dane dotyczą dwóch sparowanych grup (np. ten sam pacjent badany przed i po leczeniu),
  → stosujemy test McNemara (dla zmiennej dychotomicznej).

  $$\chi^2 = \frac{(b - c)^2}{b + c}$$

  (26)

• Jeśli dane obejmują więcej niż dwie kategorie lub powtórzone pomiary,
  → stosujemy test Cochran-Mantel-Haenszela (CMH) — implementowany jako mantelhaen.test.

  Test CMH pozwala ocenić, czy istnieje spójna zależność między leczeniem a poprawą,
  przy jednoczesnej kontroli innej zmiennej (np. płci).

🧠 Test Cochran–Mantel–Haenszela (CMH)¶

🔍 Idea testu¶

Test Cochran–Mantel–Haenszela (CMH) jest rozszerzeniem testu chi-kwadrat,
stosowanym wtedy, gdy chcemy sprawdzić zależność między dwiema zmiennymi nominalnymi,
kontrolując wpływ trzeciej zmiennej (tzw. stratyfikującej lub warstwowej).

Inaczej mówiąc, test CMH bada, czy dwie zmienne (np. leczenie i poprawa) są warunkowo niezależne w każdej warstwie trzeciej zmiennej (np. płci).

📘 Hipotezy statystyczne¶

• $H_0$: Zmienne są warunkowo niezależne w każdej warstwie.
  (np. rodzaj leczenia nie wpływa na poprawę, niezależnie od płci)

• $H_1$: Zmienne są warunkowo zależne w co najmniej jednej warstwie.
  (czyli efekt leczenia jest spójny i znaczący po kontrolowaniu płci)

🧮 Statystyka testowa¶

Statystyka testu CMH ma przybliżony rozkład $\chi^2$ z 1 stopniem swobody.
W najprostszej postaci (dla tabel 2×2 w kilku warstwach) oblicza się ją jako:

gdzie:

• $a_k$ — liczba sukcesów (np. poprawy) w grupie leczonej w warstwie $k$ (np. płci),

• $E(a_k)$ — wartość oczekiwana $a_k$ przy założeniu niezależności,

• $Var(a_k)$ — wariancja w warstwie $k$.

✅ Wnioski — analiza zestawu Arthritis¶

📊 Podsumowanie wyników:¶

• Tabele kontyngencji pokazują, że odsetek pacjentów z wyraźną poprawą (Marked) jest wyższy w grupie Treated niż w grupie Placebo.

• Test chi-kwadrat niezależności potwierdził istotną statystycznie zależność między leczeniem a poprawą (p < 0.05).

• Test Cochran–Mantel–Haenszela, kontrolujący zmienną płeć, również wykazał spójny i istotny efekt leczenia zarówno u kobiet, jak i u mężczyzn.

• Wykres mozaikowy wizualnie potwierdził, że w obu płciach odsetek znaczącej poprawy był większy w grupie leczonej, co jest zgodne z wynikami testów statystycznych.

🧠 Interpretacja¶

Nowe leczenie istotnie poprawia stan zdrowia pacjentów z reumatoidalnym zapaleniem stawów,
a efekt ten jest stabilny i podobny u kobiet oraz mężczyzn.

Nie stwierdzono dowodów na występowanie interakcji trójczynnikowej (Leczenie × Poprawa × Płeć),
co oznacza, że założenia testu CMH zostały spełnione.

🩺 Wniosek końcowy¶

✅ Odrzucamy hipotezę zerową.
Nowe leczenie miało statystycznie istotny i klinicznie znaczący wpływ
na poprawę stanu pacjentów w porównaniu z placebo,
i efekt ten jest spójny między grupami płci.